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Bonjour,
le terme "martingale" est assez répandu aussi bien dans l'univers des jeux que dans l'univers des probabilistes. Toutefois, les deux sens sont loin de coïncider.
Ce sont les joueurs les premiers à l'avoir utilisé. Les mathématiciens l'ont ensuite repris et lui ont donné une définition claire avec des axiomes précis nécessitant de faibles connaissances en probabilités (une licence est suffisante). Je vous épargne la définition exacte qui nécessite une bonne connaissance de l'espérance conditionnelle ainsi que de la projection orthogonale dans les espaces de Hilbert.
On va d'abord étudier la martingale dite de Hawks dans le cas du jeu non truqué de pile ou face.
Utilisation de la martingale à "Pile ou face"
Supposons que vous jouiez à pile ou face. Vous avez une chance sur deux de faire pile et une chance sur deux de faire face. On suppose que si vous tombez juste, vous remportez deux fois votre mise et sinon, vous ne remportez rien. C'est un jeu équitable (ce que le casino n'est pas).
L'on peut alors modéliser nos tirages par des variables aléatoires réelles indépendantes et uniquement distribuées suivant la loi de Bernouilli de paramètre 1/2. L'indépendance vient du fait que l'on suppose que la pièce n'a aucune mémoire et n'est pas non plus magique mais bien réelle.
Voici le principe de la martingale :
1) Vous décidez quelle somme d'argent vous voulez récolter. Vous la fixez une fois pour toutes. Soit S cette somme
2) Vous misez S€ sur ce que vous voulez.
Si vous gagnez, vous remportez 2S€. bénéfice net : (2-1)S€=S€. FIN
Si vous perdez, vous avez besoin de gagner 2S€ donc vous revenez au point 1) en remplaçant S par 2S.
Ce n'est qu'une simple boucle avec un temps d'arrêt.
Quelles sont les chances que vous perdiez tout le temps : (1/2)^infini=0
Ainsi, il arrivera un moment où vous gagnerez. Merveilleux. Vous gagnez ainsi à coup sûr grâce à cette méthode. Les joueurs ainsi que les mauvais webmasters de sites ou de forums appellent ça "la martingale de Hawks" et se gargarisent de cette méthode miracle en disant "c'est mathématiques".
Ils ont raison. C'est mathématiques... C'est mathématiques que cette méthode ne vaut rien. D'ailleurs, en mathématiques, on appelle ça le principe d'optimalité de Bellman.
Convergence?
Quand j'ai écrit (1/2)^infini, j'ai tout caché sous le tapis. La notion de l'infini est très difficile à aborder. Nombre de mathématiciens et de philosophes s'y sont essayé et s'y sont cassés les dents. Baruch Spinoza utilise des raisonnements de type fini pour traiter de l'infini dans L'éthique. Cantor fut si frustré devant cette notion qu'il écrivit au pape pour lui dire que Dieu se moquait des humains....
Quand on parle d'infini, on parle de convergence. Si je vous demande la limite quand n tend vers l'infini de (1/2)^n, il vous sera aisé de dire 0.
Mais cela implique-t-il quelque chose de particulier pour notre processus aléatoire?
Je ne vais pas faire un cours sur les espaces de Banach. Sachez juste que la notion de convergence dépend de la topologie que l'on utilise. Or, des topologies, dans un espace de Banach de dimension infini, il y en a une infinité d'infinité d'infinité... d'infinité...
Les topologies principales utilisées en théorie des probabilités sont au nombre de 4 :
La topologie L1. Elle signifie à peu de choses prêts que l'espérance de la valeur absolue de f(Xt)-f(Xinfini) tend vers 0 où f est une fonction continue et bornée.
La topologie de la convergence en loi. Je ne dirai rien sur elle.
La topologie de la convergence en probabilités. Je ne dirai rien sur elle.
La topologie de la convergence presque sûre. Elle signifie que pour chaque réalisation de l'univers, au bout d'un temps assez grand, ce que l'on observe de notre processus devient un certain processus. Il n'y a aucune uniformité là-dedans.
La convergence presque sûre implique la convergence en probabilités et la convergence en loi mais elle n'implique pas la convergence L1 et, la convergence L1 n'implique pas la convergence presque sûre.
Donc, lorsque l'on dit que la méthode fonctionne, il convient de préciser dans quelle topologie. Comme il n'y a aucune uniformité, on est ici dans le cadre de la convergence presque sûre.
Or, le joueur qui l'utilise imagine gagner sur le long terme, soit en moyenne c'est-à-dire dans la topologie L1.
Voilà où est l'a******!
Vous gagnerez presque sûrement en un temps fini mais vous ne gagnerez pas en moyenne!
Il ne s'agit pas du seul défaut d'ailleurs. Car là, on suppose que vous disposez d'une somme infini d'argent. Oui, si vous voulez ne pas gagner, vous devez avoir une somme infinie d'argent. Alors, vous gagnerez 1€ de temps en temps. Pas très intéressant hein?
La martingale appliquée à la roulette
Ici, le casino est gagnant en moyenne. Le jeu n'est donc même plus équilibré. Sans rien changer à la généralité, je suppose que si vous trouvez la bonne case, vous raflez 35.5 fois la mise.
Vous fixez la somme d'argent que vous voulez gagner au départ, disons 1€. Je suppose que vous ne disposez pas d'une somme d'argent infinie.
L'application de la méthode suppose ici que vous misiez 1/34.5=0.029€
Si vous remportez la mise, vous arrêtez.
Sinon, vous devez miser 1/34.5+1/34.5^2. Soit vous gagnez soit vous devez encore miser 1/34.5+1/34.5^2+(1/34.5^2+1/34.5^3)
Supposons que vous ayez perdu N fois de suite.
Vos pertes s'élèvent alors à (35.5/34.5)^N-1. N étant grand, on néglige le reste. Vous avez donc perdu (35.5/34.5)^N.
Soit A toute votre fortune. Vous ne pouvez donc pas perdre plus de log(A)/log(1+1/34.5) fois de suite. Si vous possédez un million d'euros, cela signifie que vous ne pouvez pas perdre plus de 483 fois de suite. Si vous possédez un milliard, vous êtes limités à 725 défaites de suite.
De manière générale, la méthode de Hawks dans le monde réel est un peu différente de la méthode théorique.
La vraie méthode est celle-ci :
1) Vous fixez la somme d'argent que vous souhaitez gagner. Disons 1€. Vous fixez la somme seuil maximale S d'argent que vous êtes prêts à perdre.
2) Vous jouez 1/34.5.
Si vous gagnez, vous arrêtez.
Si la somme totale de vos pertes dépasse S, vous arrêtez.
Sinon, vous misez 1/34.5+1/34.5*tout ce que vous avez perdu.
Typiquement, cela revient à dire que vous n'acceptez pas de perdre plus de p fois de suite.
Ici, il n'y a même plus convergence presque sûre. Et, évidemment, il n'y a pas convergence L1.
Quelles sont les chances de perdre p fois de suite? (36/37)^p et alors vous aurez perdu la somme de (35.5/34.5)^p-1€.
Quelles sont les chances de ne pas perdre p fois de suite? 1-(36/37)^p et alors vous aurez gagné la somme de 1€.
Ainsi, en moyenne, sur N réalisation, voici vos gains :
N*{-(35.5/34.5)^p+1+1*[1-(36/37)^p]}/p
Plus p est grand, plus cette somme est importante. C'est normale : plus p est grand, plus l'on s'approche de l'optimalité en question.
Si l'on fait tendre p vers l'infini (dans l'espace des réels, il y a dimension finie donc toutes les topologies sont équivalentes), on obtient :
N*{1/37-1/34.5}=-1.96*N/1000<0
Ainsi, même en vous fixant une limite, aussi grande soit-elle, vous êtes perdants en moyenne.
En d'autres termes, vous gagnerez souvent, même très souvent une très petite somme. Mais vous perdrez rarement, très rarement une grande somme. Une somme si grande que vous aurez plus perdu que gagné.
Et, même si vous vous dîtes "je ne dois pas y jouer plus de 30 minutes ou perdre plus de 15 fois de suite", vous perdrez quand même.
Comme dans le cas de la méthode des 94%, il est préférable pour gagner de faire l'acquisition d'un trèfle à quatre feuilles ou de faire le sacrifice d'une chèvre lors d'une messe noire. Ca marchera peut-être. Mais au moins, il y a un "peut-être" car la martingale, elle ne marche pas. Ca, c'est sûr. Et, là, c'est vraiment mathématiques.
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Troisième loi de Newton : toute action amène une réaction.
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Tutoriel : La martingale
mardi 16 décembre 2008 à 04:23
